传统的数学教学注意培养学生的逻辑推理能力和计算能力,而忽略了培养学生如何从实际问题中提炼数学问题以及如何用数学来解决实际问题。如今,高等教育应适应时代的发展,数学建模正是为改变传统高等教育中存在的“学生学了数学而不会用”的弊端而产生的。为此,在高等数学的教学进程中,应融入数学建模的思想,使学生能够学而致用。数学建模解决的实际问题是多样的,建模目的不同,分析方法不同,采用的数学工具不同,所得模型也不同。在解决实际问题时,它是运用数学的原理、方法、语言,通过简化建立能近似刻画并解决问题的一种手段,一般包含五个方面。第一,模型准备。了解问题的实际背景,明确建模的目的,搜集必要的信息如现象、数据等。第二,模型假设。根据问题的特征和建模的目的,做出必要合理的假设。第三,模型建构。根据所作假设,用数学工具来刻画变量之间的关系,建立相应的数学结构模型。第四,模型求解。采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等数学方法,对模型的所有参数做出计算或估计。第五,模型检验。对求解和分析结果翻译回到实际问题,与实际的对象、数据比较,检验模型的合理性。
笔者在高等数学的教学过程中,努力吸收《数学建模》课的经验和参加全国大学生数学建模赛前辅导的经验,把建模思想融入到高等数学教学中去。下面笔者谈一谈一些具体的教学经验。
一、吸收最新教学成果,开展高数教学工作
现行的《高等数学》教材,大都内容陈旧、知识老化。在引入概念时,给出的引例基本上都是几何学与物理学领域的,理论上大都是连续型;有些理论已严重滞后于工程或经济的需要,例如,经济中常用的数据处理方法、逼近方法、最优化方法等都没有涉及。因此,要选取符合计算机系学生且与时俱进的教材;通过查阅图书馆、收集国内外有关的图书,吸收最新教学研究成果,不断丰富教学内容。对于有些理论进行推广;有些结论的证明,要给出比传统教材更简单的证明方法;补充一些经济或工程中常用的现代数学方法。
二、认清理论与实际问题的联系,加强高等数学的应用环节
数学概念与知识是从社会实际的各种模型中抽象出来的,在高等数学教学中,融入建模思想是理论与应用结合的必然,也是教学的重要手段。
首先,在高等数学教学中,建立函数关系是数学建模中的关键一节,关系到数学模型的假设与建立两方面。例如,在人口增长模型中,会用到指数函数;在经济实例中,会用到分段函数。讲授函数时,可适当介绍具体的数学模型案例,但应把握两个方面:一方面,讲清问题的背景、建模的要求和已有的信息,如何进行合理假设,利用建立某个函数关系简化建立数学模型;另一方面,把关键因素和所运用的数学工具讲清楚后,对于怎样运用数学知识和数学思想建立怎样的数学模型,让学生各抒己见。例如,在讲授连续函数的零点定理后,引入数学模型案例“椅子能在不平的地面上放稳吗”,让学生体会数学中抽象的定理与实际生活的联系。这个模型来源于生活中的普通事实:椅子放在不平的地面上,通常三只脚着地,放不稳,然而挪动几次,可使四只脚同时着地。把这样看似与数学无关的现象用数学语言给以描述,并用数学工具证实。
其次,通过课后建模实践训练,用以巩固和深化高等数学课程的教学。训练题可以是用课堂上讲过的数学建模方法建模或是对课上的某个问题作进一步的讨论;对每次训练题要完整地完成,从提出问题、分析问题、建立模型、求解模型到模型的分析、检验、推广的全过程,并在规定时间内完成一篇条理有序的数学论文。通过这种训练,一方面可以巩固课堂教学,另一方面也可提高学生理论结合实际的建模、用模的能力。
三、加强数学软件的学习
随着计算机技术的发展,性能高、应用性强的数学软件应运而生,如Matlab、Mathematics、SAS、Lindo、Lingo等。在学习高等数学时,辅助地讲授数学软件是刻不容缓的,如用软件求导、积分、极限等运算以及解方程、方程组、解线性规划。通过数学软件画图,引入问题进而分析问题,直观而且学生更容易接受。
实践证明,在高等数学教学中融入数学建模的思想,注重培养学生解决实际问题的能力,是高校当今教育改革的发展方向。作为数学教育工作者,不仅要有扎实的专业数学知识,还必须努力提高数学模型意识、数学建模能力与使用计算机的能力。只有做到这些,才能在教学中突出数学建模思想,对学生进行数学建模能力的培养。
(作者单位:天津财经大学珠江学院)