摘 要：针对反射地震勘探法高强度面波对有效波的干扰问题，提出将分数阶自相关引入到地震信号处理中，通过计算地震反射信号分数阶相关的峰值位置，确定分数阶傅里叶变换的阶次，通过在FRFT域对面波进行压制，实现将有效波与面波干扰波的分离，利用FRFT的可逆性，变换回时频域，达到信号处理的目的。实验证明该方法具有面波消除彻底，且同相轴连续性好等优点。
关键词：分数阶相关；分数阶傅里叶变换；面波；有效波
1 概述
傅里叶变换是处理确定信号和平稳随机过程的理论基础，经常用来进行地震信号处理。随着现代信号处理理论的迅猛发展，科研人员所处理的信号已经由原来传统的平稳信号逐渐转向非平稳、非高斯、非单采样频率等的复杂信号。然而傅里叶变换有其明显的局限性，它只能得到信号单纯的时域或频域信息，对于非平稳信号则无能为力。为了分析和处理非平稳信号，人们提出并发展了一系列新的信号分析理论。若将傅里叶变换看作从时间轴逆时针旋转 到频率轴，那么分数阶Fourier变换作为Fourier变换的广义形式，则可以旋转任意角度以展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征，为信号的时频分析提供了更大的选择空间，正是由于分数阶Fourier变换在时频分析中的优点而逐渐受到众多科研工作者的青睐。现今，分数阶Fourier变换已经广泛应用于科学研究和工程技术的许多领域，但是其在信号处理领域的潜力才刚刚得到挖掘。在地震面波处理这方面虽然没有相应的成果出现，但是这一思想为我们提供了更多的研究空间。文章即以分数阶Fourier变换为数据处理手段对地震勘中产生的地震面波进行压制，以改善地震资料的信噪比，从而提高地震勘探的分辨率。
2 分数阶傅里叶变换与分数阶相关
2.1 分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的一种推广，从数学的角度来看，p阶分数阶傅里叶变换可以定义为时域信号x（t）的线性积分变换，对于旋转角？琢= ，p为分数情形，定义[1-2]：
由FRFT的核函数Kp（t，u）可知，分数阶傅里叶变换实质上是由一组完备的chirp信号为基函数所表征的正交变换，其chirp基函数
时，基函数成为（一组正交完备的三角函数基），分数阶傅里叶变换变为传统的傅里叶变换。如单频正弦函数的傅里叶变换为一个冲击函数一样，一旦要分析的chirp信号的调频率与某组基的调频率相吻合，便在该组基的某个基上形成冲击函数，由此可见分数阶傅里叶变换对非平稳信号具有理想的时频聚集性。另外，分数阶傅里叶变换属线性变换，Fa[ax（t）+by（t）]=axa（t）+bya（t），信号和噪声相叠加后的分数阶傅里叶变换等于二者分别进行傅里叶变换再叠加，不存在二次型变换对多分量chirp信号分析时所产生的交叉干扰，因此分数阶傅里叶变换适合对多分量线性调频信号进行参数参数估计和滤波。
2.2 分数阶相关
相关是信号处理领域中很重要的概念。相关运算主要用于对两信号进行比较或从强信号中检测到较弱信号。普通相关运算主要应用于时域或频域。分数阶相关是普通相关的扩展，下面给出了分数阶相关的定义式：
其中，S（t）为输入信号，h（t）为参考信号，？籽表示沿角度？准方向的平移，可以看到，当？准=0时，分数阶相关变为时域的普通相关，当？准=？仔/2时，分数阶相关变为频域的普通相关。因此，分数阶相关可以认为是分数阶域时移为？籽cos？准，频移为？籽sin？准的广义相关运算。
为便于计算，利用卷积与相关运算的关系将上式转换为如下乘积运算，
因此分数阶相关运算只需对先对信号进行角度为？仔/2+？准的分数阶傅里叶变换后再进行傅里叶逆变换。
由分数阶相关运算得到信号的分数阶自相关可表示为：
2.3 模糊函数与分数阶自相关
模糊函数主要用于分析信号的分辨性能，定义为：
当z（t）为多分量信号时，多个分量信号的模糊函数都是以原点（0，0）为中心，混合在一起，因此称各分量信号是模糊的。若信号中存在线性调频信号分量时，以原点为起点，以角度？椎=arctan（m），沿斜率m对模糊函数进行线积分（对模糊函数进行Radon变换：D（m）=∫|AFs|（？子，m？子）|d？子），当多分量信号中存在线性调频信号时，积分将出现峰值，根据这一原理可对m进行一维峰值搜索，实现对微弱LFM信号的检测。
将模糊函数的定义式与分数阶自相关的公式相比较可以发现旋转角为？椎的分数阶自相关与模糊函数在沿？椎角射线方向的切片是一致的。因此，分数阶自相关与模糊函数存在如下等式关系。
由于对模糊函数进行Radon变换，其运算量较大，计算的复杂度为O（N2log2N+MN），因此可以利用对分数阶傅里叶变换在？椎=2？仔范围内沿着m=tan？椎做线性积分来实现对模糊函数的Radon变换。计算过程主要是对信号进行分数阶傅里叶变换的结果平方后再进行傅里叶逆变，其计算复杂度为O（M（2Nlog2N+N）），远小于直接对模糊函数进行积分的运算量。
3 地震面波压制原理
利用分数阶傅里叶变换的旋转性可以将不同频率成分的信号分离开来，进行滤波，从而将信号和噪声的分离，因此，近几年关于地震信号处理方面的科研和工程人员尝试利用分数阶傅里叶变换对地震面波进行压制。
由于地震面波和有效波混杂在一起，面波的能量比有效波能量强，几乎淹没了有效波。只有选择一个合适的旋转角度，才能使面波和有效波在时频域实现分离。在处理过程中必须通过大量的试验找出最佳变换阶数，然后在该分数阶域内设计滤波器去除面波，达到压制面波的效果。因此，使得数据处理过程变得复杂和不确定。
文中提出利用分数阶自相关结合分数阶傅里叶变换的方法来对地震信号进行处理，实现使地震有效波与面波干扰波的有效分离。具体方法如下：
（1）对采集的地震信号进行分数阶自相关变换，通过得到的峰值点确定有效信号调频斜率，从而确定分数阶傅里叶变换的最佳旋转阶数p。
（2）根据第一步获得的参数对原始信号进行分数阶傅里叶变换，在分数阶域对面波及噪声进行压制。
（3）进行分数阶傅里叶反变换，得到信号的时域表示。
4 实验分析和验证
文中以实际地震数据资料为研究对象，其中采集道数为64道，道间距为15米，采样点数为1280，采样间隔为0.004s。
选定第一道地震记录进行分数阶自相关运算，确定该道分数阶傅里叶变换的最佳阶数为p=0.96。图1为p=0.96时的分数阶傅里叶变换。
在x-t域，地震记录的水平方向表示偏移距，垂直方向表示时间。图2是64道原始地震数据进行分数阶傅里叶滤波前与分数阶滤波后地震记录结果比较。从a图中可以看出面波和有效波混杂在一起，面波的能量比有效波能量强，几乎淹没了有效波。从滤波处理后的b图可以看到，面波得到了很好的压制。
5 结束语
在反射法地震勘探中，有效波往往会被面波所淹没从而使得对地震资料的解释变得复杂起来。因此，要获得高信噪比、高分辨率的地震资料，压制面波提取有效波显得十分重要。近年来，随着分数阶傅里叶变换相关理论的快速发展，其已经广泛应用于科研与工程实践中。文章通过对分数阶傅里叶变换理论的进一步研究，提出采用分数阶自相关方法来确定地震信号的有效波调频斜率，从而确定分数阶傅里叶变换的变换阶次，在分数阶傅里叶域内通过滤波实现对面波干扰波的压制，实验证明该方法是可行的，可以很好的确定傅里叶变换的参数，达到了压制面波提取有效波的效果。
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