摘 要:以用不动点迭代教学为例,探讨大学数学教学提倡研究式教学、沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法:一是挖掘高等数学与初等数学联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学;二是浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用;三是运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性.
关键词:大学数学;研究性教学;不动点迭代收敛定理;中学数学
大学数学如何指导中学数学教学一直是人们关注的重要课题,当前高中教学已进行新的课程改革,将微积分,概率统计,算法,初等数论,图论初步等有关大学数学作为必修课或者选修课程放到高中教学中,每年的高考数学试题也渗透着高等数学的内容,我们不难从高考题中找到高等数学的影子。我们认为,大学数学教学提倡研究式教学是沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法。本文以大学《数值计算方法》中的不动点迭代教学为例,略作说明。
一、挖掘高数与初数联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学
众所周知,大学数学与中学数学有着密切而广泛的联系,但从大学数学的高度审视中学数学,一是需要挖掘高等数学与初等数学联系的适当切入点,二是突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学。
(一)不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例
函数与方程一直是高中数学教学的重点,为适应计算机科学的发展,高中数学新课程增加了利用(借助计算器或计算机)二分法求方程实根近似值等新内容.普通高中《数学课程标准》指出:“根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。”“进一步体会用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。“应鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器或计算机……求方程的近似解等。”
随着计算机技术的迅速发展与广泛应用,方程实根的近似计算焕发出新的活力,在处理实际问题中具有重要的应用意义.自然科学、工程技术、经济与医学等领域中遇到的许多问题,都可应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题或建立数学模型。然而,这些问题中只有很少一部分可以给出解析解,而绝大多数则得不到准确解或求解的工作量很大,只能借助计算机求其近似解(称为数值解或计算解)。运用计算机解决现代科学(如天文学等)与工程中大规模科学计算问题的步骤先是提出能在计算机上实现的数值方法,继而用计算机语言编写程序,最后上机计算求出结果.这就要求建立的数值方法(算法)应便于在计算机上实现、计算工作量尽量小、存储量尽量小、问题准确解与计算解的误差小等。
不难发现,大学《数值计算方法》不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例。
(二)注重揭示数学概念的发生过程与数学原理的证明过程
数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果(输出)之间的一种明确的数学描述.非线性方程近似解数值计算的基本思想是从函数f(x)的零点ξ的一个初始近似值x0出发,通过迭代导出一个收敛于ξ的序列{xn}(n=0,1,2,…),当n充分大(如n=k)时,用xk作为ξ的近似值,即ξ的计算问题转化为有限次迭代计算x0,x1,…,xk;常见的方法有二分法、牛顿法、割线法等,二分法是最简单的数值方法,它只要求函数连续,因而使用范围广并便于在计算机上实现,但收敛速度比割线法慢,计算步骤也多一些[2]。
一般地,设函数Φ(x)是一个具有连续导数的连续函数,c(x)是任一不为0的函数,且满足Φ(x)=x-c(x)f(x),则方程f(x)=0与Φ(x)=x同解。
适当选取一个初始近似值x0,由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0,1,2…)确定序列{xn}(n=0,1,2…).可证当|Φ"(x)|<1时,x=ξ;又因函数Φ(x)的连续性而有x=Φ(ξ),从而ξ=Φ(ξ)为方程f(x)=0的一个解[3]。
这样,适当选取满足条件的c(x)代入迭代公式xn+1=Φ(xn)就得出不同的近似解递推数列,如令c(x)=,有牛顿迭代公式xn+1=xn-(n=1,2,…);令c(x)==(常数),有迭代公式xn+1=xn-=xn-(n=1,2,…)等。
这就是不动点迭代的基本思想.不动点迭代主要解决非线性方程解的问题,很多科学和工程计算中常常遇到非线性方程求解问题。而不动点迭代由于算法比较简单(循环的),收敛速度较快,这一内容在解非线性方程中占有重要的地位,是一个应用广泛的知识点.因而,剖析不动点迭代概念的形成背景是开展数学研究式教学的逻辑起点。
其次,对于不动点迭代,迭代格式的构造或选取影响着迭代序列的收敛性、适应性及收敛速度,不动点收敛性定理为此提供了保障.所以,讲好不动点收敛性定理的证明及其体现的数学思想方法,是本节实施研究式教学的又一重点。
定理1:(收敛性基本定理)设函数Φ(x)∈[a,b]满足下列条件:
(1)当x∈[a,b],Φ(x)∈[a,b]
(2)Φ在[a,b]上满足李普希茨条件,即对任何x1,x2∈[a,b]成立,|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|,其中L是与x1,x2无关的常数
则(1)当L<1时,方程x=Φ(x)在[a,b]存在唯一解x*
(2)对于任意个初始值x0∈[a,b],由迭代格式xk+1=Φ(xk)所产生的迭代序列{xk}收敛于x*,并有误差不等式|xk-x*|≤|xk-xk-1|和|xk-x*|≤|x1-x0|
证明:(1)作函数φ1(x)=x-φ(x),因φ(x)在[a,b]上连续,故φ1(x)在[a,b]上连续,且φ1(a)=a-φ(x)≤0,φ1(b)=b-φ(x)≥0;所以由介值定理知:存在x*∈[a,b]使得φ(x*)=0,即x*=φ(x*).
再证唯一性:若方程x=φ(x)在[a,b]上有两实根x1,x2,则由微分中值定理及条件|φ(x)|≤L<1知,|x1-x2|=|φ(x1)-φ(x2)|=|φ(ξ)||x1-x2|≤L|x1-x2|,ξ∈(x1.x2);显然,上试在x1-x2成立,故证得唯一性成立。
(2)又由迭代格式xk+1=Φ(xk)得:
|x-x|=|φ(x)-φ(x*)|≤L|x-x|≤L|x-x|≤…L|x-x|
因此,lim x=x.此外由|x-x|=|φ(x)-φ(x)|≤L|x-x|,k=0,1,2…;
∴|x-x|≤|x-x|+……|x-x|+|x-x|
≤(L+L+…+L+1)|x-x|≤(L+L+…+L+1)L|x-x|
≤|x-x|;令P→8,即得|x-x|≤|x-x|.
另证:
∵|x-x|=|(x-x)-(x-x)|≥|x-x|-|x-x|≥|x-x|-L|x-x|
=(1-L)(x-x),
∴|x-x|≤≤|x-x|…≤|X-X|.
二、浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用
对于不动点收敛性定理的上述证明,一般的高中生是无法接受的。能否去掉其中的高等数学专业概念和术语,浅化高等数学以发现其对中学数学的指导作用,做好大学数学和中学数学的有效衔接?事实上,不动点收敛性定理可以浅化为如例1的高观点下的中学数学问题:
例1:(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2) ;②存在常数L(0 (I)设φ(x)=,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A (II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的 (Ⅲ)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2.…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x-x| 评析:本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用。 不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪,1912年荷兰数学家布劳韦尔提出了著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里。1967年,美国耶鲁大学的斯卡弗教授提出了一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题。 初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学阅读理解能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(I)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(II)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式。 ∵|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|, ∴|xn-1-xn|≤=Ln-1|x2-x1| ≤|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…(xk+1-xk)| ≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk| ≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x1-x1|≤|x2-x1| 可以看出,本题是收敛性定理的特殊化,解题过程即定理的证明过程,但已用初等数学语言来表述,如此包装,适合了高中生的数学思维,达到了考查抽象函数和不等式的目的。 当然,还可将该问题以数学研究性学习或课题学习的形式,进行变式探究.如变通Lipschitz条件,可得 问题1:已知函数f(x)定义在区间[a,b]上,若存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有 |f(x)-f(y)|≤k|x-y|a,则当a>1时,有f(x)恒等于常数。 问题2:设函数f(x)定义在[a,b]上,且f(a)=f(b),满足a次Lipschitz条件,即存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a (0 三、运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性 收敛性定理还为解决与函数、方程、不等式、数列等有关的不动点问题,提供了清晰而简便的方法. 如运用不动点方法可解决如下问题: 问题3:已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],… 设区间A=(-∞,0),对于x∈A,有g1(x)=f(x)=a<0,g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且n≥2时,gn(x)<0.试问是否存在区间B(A∩B≠Φ),对于区间内任意实数x,只要n≥2,n∈N,都有gn(x)<0 问题4:(I)设f(x)=ax+b(a≠0且a≠1),x0为函数f(x)的不动点,{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),则有{an-x0}是公比为a的等比数列. (II)设f(x)=(c≠0,ad-bc≠0),数列{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),且f(a1)≠a1,若f(x)有两个相异不动点x1、x2,则数列是公比为的等比数列。 (Ⅲ)若数列{xn}满足xn+1=(a≠0),且a、β是函数f(x)=(a≠0)的两个相异不动点,则=()2(n=1,2…)。 最后,以用不动点方法较易解决的例2结束本文. 例2(2007全国高考卷数学 理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,…. (I)求{an}的通项公式; (II)若数列{bn}中b1=2,b=,n=1,2,3,…,证明 解析:(I)令(-1)(x+2)=x,则x=;∴an+1-=(-1)(an-). (an-)是首项为(2-),公比为(-1)的等比数列;an-=(-1)n ∴an=[(-1)n=1,2,3…… (II)令=x,解得x=± 则=(3+2; ∴是以(+1)为首项,公比为(3+2的等比数列, ∴=(+1)(3+2) 整理得:bn=(n=1,2,3……), a=(-1)-1= 令(+1)=t(t≥(+1)) 则b=f(t)=()=(1+)>成立; a=g(t)=(+1); b-a=(1+)-(+1)=(-)=(), 因为t≥(+1),所以F(t)≤0恒成立;∴bn≤a4n-3,所以 参考文献: [1]合肥工业大学数学组.数值计算方法[M].合肥:合肥工业大学出版社,2004. [2]林成森.数值分析[M].北京:科学出版社,2006. [3](美)R.柯朗,F.约翰.微积分和数学分析引论(第二卷第二分册)[M].北京:科学出版社,1989.