企业在实际生产过程中的库存控制问题提供了一定的参考价值。
关键词： 突变型需求；稳定性；库存控制；收敛时间
0 引言
当顾客需求是平稳随机过程时，牛鞭效应、长期平均成本等指标能较好地刻画供应链的绩效[1-2]。但当顾客需求不是平稳随机过程时，受需求突变影响，供应链系统的库存和订单会在一段时间内发生波动，牛鞭效应、长期平均成本等指标难以描述这种波动性，也难以刻画由供应链系统内在结构的复杂性造成的库存和订单变化的不确定性。而非线性动力学理论为刻画和描述这种由突变产生的波动性及混沌产生的不确定性提供了方法和工具，借助于非线性动力学理论，采用供应链系统稳定性、系统恢复稳定的收敛时间等指标能够较好地度量突变型需求下供应链绩效，为突变型需求下供应链库存控制策略的研究提供理论基础[3-7]。
本文构建了突变型顾客需求下的供应链系统模型，在阶跃型确定性顾客需求下分析了供应链系统的稳定性与库存控制参数之间的关系，探讨在突变型顾客需求下供应链系统稳定性及收敛时间的相关库存管理策略。
1 研究问题的提出和模型的构建
考虑由一个供应充足的制造商、一个供应商和一个零售商组成的单渠道的供应链系统模型，零售商在每期的起初收到供应商的供货，然后接受顾客的订单并根据现有库存量进行配送，最后再检查实际库存量并向上游供应商下单。一般情况下零售商的库存可以满足所有的顾客需求，不能满足的需求采用延迟补货策略，将会产生惩罚成本。假设顾客需求满足一个简单的阶跃型突变需求，起初的需求为常量D0，在t*时刻发生突变，之后的需求量为固定值D1。即需求Dt满足：
D■=D■，0？燮t 该问题模型涉及的参数及变量的定义如表1所示。 2 供应链系统的收敛时间 根据订货量Ot以及需求值Dt，容易得到零售商的库存水平满足如下的线性关系： I■=I■+O■-D■ （2） 假设零售商采取一次指数平滑法来预测需求，可知t期的需求预测值为： ■■=θD■+（1-θ）■■，0？燮θ？燮1 （3） 本文采用OUT订货策略进行补货[8]，订货量满足如下公式： O■=■■+αI■■-I■，0？燮α？燮1 （4） 根据文献[9]的假设，期望净库存量等于t期预测需求值■■的整数倍，因此 I■■=τ·■■，τ=0，1，2，3… （5） 由上面的公式可以得到状态变量Ot，It，■■、输入变量Dt满足如下的状态空间方程： O■I■■■=-α -α （1+τα） （1-θ）1 1 00 0 1-θO■I■■■+α+θ（1+τα） -1 θD■ （6） 令■■=A■■+Bt，其中： ■■=O■S■■■，A=-α -α （1+τα） （1-θ）1 1 00 0 1-θ，B■=α+θ（1+τα） -1 θD■ （7） 首先讨论t∈[0，t*）时的库存波动情况，此时有Dt=D0，经计算得到矩阵A的特征值为：λ1=0，λ2=1-θ，λ3=1-α，由θ，α∈[0，1]易知这些特征值都位于单位圆中，所以状态方程（6）是渐进稳定的，也即存在一个平衡点■*满足■*=A■*+B0，因此：■*=（1-A）■B■=D■ D■ D■■ （8） 库存波动收敛到平衡点■*之后将会发生一个需求突变，此时有Dt=D1，t？叟t*，这会导致库存的又一次震荡，假设当再一次达到平衡时，库存水平将会收敛到新的平衡点■*。相似的可以得到■*=（1-A）-1B1=D■ D■ D■■。令■■=D■ D■ D■■，则有t？叟t*时： ■■-■■=A■■-■■=A■■■-■■=…=A■■■-■■ （9） 根据状态方程，我们可以求得如下结果： 若α=1，有 A■=（1-θ）■0 0 -θ（1+τ）0 0 1+τ0 0 1-θ，t？叟2 （10） 若α=θ有 A■=（1-θ）■-θ -θ （1-tθ）（1+τθ） 1 1 （1+τθ）（t-1） 0 0 1-θ，t？叟1 （11） 若α≠1，且α≠θ，有 A■= ■ ■ ■-■■ ■ ■-■ 0 0 （1-θ）■ （12） 由（10）-（12）的结果，可得库存水平满足： I■=（1+τ）（1-θ）■D■-D■+D■，α=1（1-θ）■2+（1+τθ）（t-t■-1）D■-D■+D■，α=θ2（1-α）■+■（1-θ）■-■（1-α）■×D■-D■+D■，α≠1，α≠θ （13） 易知t→∞时It→D1，将库存水平收敛到某一定值所需要的时间称为供应链系统的收敛时间，此时有It-D1？燮ε。假设D1>D0，因此突变发生后的收敛时间t-t*满足如下等式： （1+τ）（1-θ）■D■-D■-ε=0，α=1（1-θ）■2+（1+τθ）（t-t■-1）D■-D■-ε，α=θ2（1-α）■+■（1-θ）■-■（1-α）■×D■-D■-ε=0，α≠1，α≠θ（14） 由上式可以看出，收敛时间与突变强度ΔD=（D1-D0）、平滑常数θ、库存修正量α以及期望库存系数τ相关，令Δt=t-t*表示供应链系统的收敛时间，则上述方程可以看做收敛时间Δt关于参数ΔD、θ、α的隐函数。 采用隐函数求导定理计算得到结果■>0，■>0，■<0，■<0。可知，库存恢复稳定的收敛时间与突变强度、期望库存系数成正比，与平滑常数、库存修正量成反比。即说明了供应链系统的收敛时间？驻t随着突变强度？驻D、期望库存系数τ的增大而加长，随着平滑常数θ、库存修正量α的增大而缩减。因此企业在对应对突变未知的情况时，同时要考虑平滑常数θ、库存修正量α来进行相应的库存决策，以保证供应链系统能够在理想的时间内收敛到新的平衡。
3 供应链系统的稳定性
模型中的顾客需求在t*时刻发生了突变，下面来研究突变发生后的一段时间内的供应链系统稳定性的变化，及其与各库存参数之间的关系。采用文献[11]中稳定性表达式S（t）=■I（t）-I*（t）dt和库存水平（13）可以得到，在这一连续型突变顾客需求模型下供应链系统稳定性的表达式为：St=
■（1+τ）（1-θ）■D■-D■+（1-τ）D■dt，α=1■（1-θ）■2+（1+τθ）（t-t■-1）D■-D■+（1-τ）D■dt，α=θ■2（1-α）■+■（1-θ）■-■（1-α）■×D■-D■+（1-τ）D■dt，α≠1，α≠θ（15）
α=1时，分别对各库存参数求一阶导数，分析它们和供应链系统稳定性水平的相应关系：
S■=■·■S■=■·（1-θ）■+（τ-1）·D■S■=■·■+Δt·D■S■=■·[1+ln（1-θ）]·（1-θ）■-1-（1-θ）■·[ln（1-θ）]■ （16）
由τ？叟1，θ∈[0，1]，t-t*>0，易知（1-θ）■-1<0，ln（1-θ）<0，因此有S■>0。
由ΔD>0，D1>0，可得S■>0，S■>0。根据参数范围可得[1+ln（1-θ）]·（1-θ）■-1<0，（1-θ）■·[ln（1-θ）]■>0，因此有结论S■<0。
相似的分析其余两种情形下的参数关系，经计算得到如下结果：S■>0，S■>0，S■>0，S■<0，S■<0。
综合上面三种情况的结果可知，突变发生后的一段时间内的供应链系统的绩效水平与突变强度、期望库存系数、平滑常数、库存修正量、供应链系统收敛时间均相关。由分析结果可知供应链系统的稳定性大小随着收敛时间Δt、突变强度ΔD、期望库存系数τ的增大而增大，随着平滑常数θ、库存修正量α的增大而减小。因此在企业的实际生产运作中，在应对突变未知的情形下，应合理调整库存参数以保证供应链系统的稳定性水平维持在一个理想范围内的前提下，适当地控制供应链系统的收敛时间。
4 结论
通过对突变型顾客需求下供应链系统稳定性及受需求突变影响后恢复稳定的收敛时间等影响因素的研究发现，在不考虑补货提前期的情况下，能够得到零售商库存水平与已知顾客需求情况下库存重新恢复到稳定所需时间的解析表达式，并得出结论：需求突变强度和期望库存系数越大，库存收敛时间越长，稳定性越大，供应链系统越不稳定，库存修正量、平滑常数越大，收敛时间越短，稳定性越小，供应链系统趋于更加稳定。所以为使供应链系统更好地应对突变需求，应该在保证供应链系统库存水平在一个理想的波动范围内，尽可能地增加库存修正量、平滑常数，减小期望库存系数，以使供应链系统能够更快地趋于平稳。
参考文献：
[1]Chen L， Lee H L. Information sharing and order variability control under a generalized demand model [J]. Management Science， 2009， 55 （5）：781-797.
[2]Lee H L， Padmanabhan V， Whang S. Information distortion in a supply chain： the bullwhip effect[J]. Management Science， 1997， 43 （4）：546-558.
[3]Kim， I.， Springer， M. Measuring endogenous supply chain volatility： Beyond the bullwhip effect[J]. European Journal of Operational Research， 2008， 189： 172-193.
[4]Springer， M.， Kim， I. Managing the order pipeline to reduce supply chain volatility[J]. European Journal of Operational Research， 2010， 203： 380-392.
[5]Hwarng， H.B.， Xie， N. Understanding supply chain dynamics： A chaos perspective[J]. European Journal of Operational Research， 2008， 184： 1163-1178.
[6]Xiaoling Xu， Haiyan Wang and Zhiru Juan. The performance of supply chain inventory management under step-deterministic demand[J]. ICIC Express Letters， 2013， 7（3A）： 853-859.
[7]Ouyang， Y. The effect of information sharing on supply chain stability and the bullwhip effect[J]. European Journal of Operational Research， 2007， 182： 1107-1121.
[8]C. Zhang and H. Wang. A state-space based study of stability， bullwhip effect and total costs in two-stage supply chain， International Journal of Innovative Computing[J]. Information and Control， 2012， 8（5A）： 3399-3410.
[9]R. Sipahi and I. I. Delice， Stability of inventory dynamics in supply chains with three delays[J]. International Journal of Production Economics， 2010， 123（1）： 107-117.
[10]Zheng， Y. S. and Federgruen A. Finding optimal （s， S） policies is about as simple as evaluating a single policy[J]. Operations Research， 1991， 39： 654-665.
[11]罗昌，贾素玲，王惠文.基于系统动力学的供应链稳定性研究[J].系统仿真学报，2008，20（14）：3815-3819.