【摘 要】概率论与数理统计是众多大学专业的专业基础课之一，其教学难点主要在于概念的抽象性造成学生难以理解。本文给出大量概率论教学中相关难点的趣味性教学实例，对丰富概率论课堂内容、提高教学效果有着十分重要的意义。
【关键词】教学方法 概率论 教学案例
【中图分类号】G432.07 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）33-0005-02
概率统计是现代大学理工、经济、社科、农林、体育等专业必修课程。课程的学习对于培养和提高学生的创新能力与综合素质起着极为重要的作用。其不但为学生学习一些后续课程奠定必要的数学基础，而且对学生在数学知识的抽象性、逻辑性与严密性方面进行一定的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。与其他数学研究对象和分析方法都不一样，概率统计的难点和关键是对概念的理解，学生普遍反映很难听懂。如何把抽象概念形象化、具体化、简明化，值得我们思考。
本文给出笔者在长期从事概率统计的教学过程中针对概率统计和高数各章疑难点，收集和构想的一批趣味性教学实例，与诸位同行交流，希望能够丰富概率统计课堂教学的内容，提高学生学习兴趣，改善教学效果。以下面几个例子介绍概率统计问题：
一 赌徒分庄问题
上概率统计第一堂课，先简单介绍该课程的起源。概率论最初是研究赌博中的概率问题，其中之一是著名的赌徒分庄问题。三百多年前（17世纪中叶）法国有一个非常有名的赌徒名叫Mere，有一次他与Mitton赌博，两人约定：各掷一次骰子出现点数六者为胜一局，五局三胜制，赌金各一万法郎。赌博进行了三局，Mere两胜一负，此时因为特殊原因赌博中止。问如何根据现有结果来分割赌金。提供三种分庄方案（比例）：
Mere
1/2
1
2/3
Mitton
1/2
0
1/3
问学生选哪种方案，或有另外的分配方案？学生回答各种方案的都有，其中选第三种方案的居多。事实上，当时两赌徒选的就是第三种方案。但事后Mere觉得自己吃亏了，
——————————————————————————
就请教数学家Pascal。Pascal经过分析得出结论，并把此问题转给另一位数学家Fermat，Fermat也得出同样的结论。其
结论是Mere应得
，为什么？原分配方案
对
，只考虑
了已经发生的结果（2∶1），没有考虑到如果赌博继续进行可能发生的结果。设赌博进行完五局，后面有四种可能的结果：（+、+）、（+、-）、（-、+）、（-、-），其中“+”表示Mere胜，“-”表示Mere负。上述四种结果是等可能
的，且前三种是Mere赢，故Mere应得
。
据说，就是从此问题讨论开始，法国数学家Pascal和Fermat与他们的好友荷兰数学家Higens对赌博的概率问题展开了系统的研究，并由Higens写成《论赌博中的概率》一书。它是一部最早的概率论著作，那个时期也被定为概率论萌芽时期。
二 三张卡片的故事
有些古典概率结果是很直观的，如掷硬币出现正面和反
面的概率各一半;掷一颗骰子，出现1～6点的概率都是
等等。但是有些直观是错误的，看下面三张卡片的故事：
有三张卡片大小、形状和颜色都一样，其中一张中间两面都画有一个圆圈，另一张两面中间画有一个黑点，第三张一面中间是圆圈，另一面是黑点，如图1所示。
从三张卡片中随机地取一张，让你看见其中一面，猜另一面的图形。
分析1：假设你看到一面中间是圆圈，那么排除上述第二张，而第一、第三张反面一张是圆圈、一张是黑点，故猜
另一面中间是圆圈或黑点的概率都是
。
分析2：同样假设你看到圆圈，排除第二张，把第一、第三张卡片中的图案编号如图2。
图1 图2
你看到的圆圈是1、2、3中之一，且是等可能的。当你看到1号或3号时，猜另一面为圆圈正确，当你看见2号时，猜反面是圆圈错，所以当你看见一面是圆圈时猜另一面是圆
圈猜中的概率为
。
分析3：当你看见图案是什么，就猜出另一面也是什么，
成功的概率是
（抽中第一、第三张卡片猜对，第二张猜错）。
显然，上述分析2、3是对的，而分析1直观对，实际错了。
三 薄丰投针问题
圆周率π是一个无理数。中国古代数学家祖冲之是世界上第一个将π值计算到小数点后面7位数的人，即3.1415926，这一纪录保持了一千多年。法国数学家薄丰通过一个游戏得到π的近似值，精确到小数点后面5位，让人叹为观止。在讲几何概型时，我补充了这个例子。
薄丰是法国数学家，据说他非常富有，每个周末都邀请亲朋好友到家里度假。有一个周末，他邀请到20多位亲朋好友到家，晚上酒足饭饱后，他对朋友说：今天我们来做一个游戏，大家每人拿一盒针（100枚），一根一根地往下丢，统计地上的针与地面平行线（地面砖交线）相交的数量，把统计结果告诉我。
一个小时过去了，游戏结束，大家把统计数据交给薄丰。薄丰统计出结果，并把它代入一个预先设定好的计算公式，计算结果让大家大吃一惊，其结果是3.14136，太奇妙了。
让我们看看奇迹是如何发生的。设地面平行线的距离为2d，针的长度为2L，针的中点至最近平行线的距离为x，针与平行线的夹角为θ，如图3。
这是几何概率问题：
样本空间
针与线相交的充要条件是
图3 图4
故针与直线相交的概率为
设投针总量为N，针与线相交的数量为n，则其频率为
。
由频率与概率的关系得：
。
已知N=2000，n=382，d=20cm，L=6cm，一并代入
上式得：
。
通过这个实验，求出π的近似值，确实让人惊奇。学生们可以自己设计一个薄丰投针的程序用电脑模拟实验，可以得到更精准的π值。
四 概率为0与不可能事件
我们知道，不可能事件的概率为0，即P（φ）=0。但是，概率为0的事件一定是不可能事件吗？答案是否定的。
例如，向[0，1]区间内随机投点，问点恰好落在
上的概率
P（
）=？，设P（
）=p，若p>0，则P（
）=P（
）=
p>0，n=1，2，…
由可列可加性
，矛盾。故p=0，而“点恰
好落在
上”是可能发生的事件。
注：此例也表明，概率为1的事件不一定是必然事件。
五 可列无穷与不可列无穷
细心的同学可能会问，在上例中，对
，有
P（χ）=0。于是
，矛盾。是呀！问题出在哪里呢？
概率公理化定义中第三条可列可加性是指：设有可列多个不相容事件A1，A2，…，An
有
而
是不可列无穷多之和，下式是不成立的。
概率公理化定义中第三条可列可加性之所以强调“可列可加”而不是任意无穷可加，上述例子正是好的注解。
六 最大似然的估计
最大似然的估计是参数点估计的一种重要方法，一般教材中是这样阐述的：设总体X～f（x，θ），其中θ是要估计的参数，抽取一个样本（X1，X2，…，Xn）其联合概率函数为
∠（θ）
，其中（x1x2…xn）为样本值称∠（θ）为
似然函数。选取θ的估计值
，使∠（θ）取到最大值，这个估计值
就称为最大似然估计。为什么要选θ的估计值
，使∠（θ）取到最大值？学生很难理解这种思维方法。在长期的教学过程中，我构想了下面这个例子：
1个盒子中有10个球，分黑白两种颜色，两种球比例为9∶1，但不知哪种球多，现从中任取一个球，发现是白球，问盒中黑白球各多少？
学生回答：白球9个，黑球1个。为什么呢？学生回答，白球多，取到的概率大。如此简单的一个例子可以让学生对这一抽象概念有直接的认识。
七 结束语
本文是笔者在概率统计教学改革与实践中获得的一点粗浅的认识和体会，愿与各位同仁交流。
参考文献
[1]宋桂荣.概率论与数理统计课程教学改革研究[J].时代教育，2012（19）：9～11
[2]魏巍.本科概率论与数理统计课程教学模式改革的探索[J]数学学习与研究，2012（23）：119～121
〔责任编辑：庞远燕〕